Programa de Matemática

Tema 1) El Número Real:

1 a) Conjuntos Numéricos: Cómo elegir la mejor calculadora. Repaso de Operaciones en el conjunto de los enteros Z y los racionales Q: Suma algebraica, multiplicación y división. Potencias: definición, de exponente cero, entero negativo y fraccionario. Radicación: Propiedades de las potencias y las raíces. Estructuras de uso frecuente: cuadrado de un binomio, diferencia de cuadrados. Separación en términos. Ejercicios combinados.

1 b) Teoría de Conjuntos: Elemento, conjunto, pertenencia e inclusión. Conjuntos definidos por extensión y por comprensión. Operaciones entre conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia, Complementación, Diferencia Simétrica. Numeral de un conjunto, partes de un conjunto y numeral de las partes de un conjunto. Operaciones con intervalos de la recta real.

1 c) Números Irracionales: Cómo surgen estos números en la recta numérica. Operaciones con radicales: extracción de factores, introducción de factores, suma algebraica de radicales, producto y cociente de radicales de igual y de distinto índice. Racionalización de denominadores: con un radical cuadrático, con un radical no cuadrático y con un binomio de radicales. Casos combinados de racionalización. Precauciones al simplificar exponentes con índices.

 

Tema 2) Geometría:

Ángulos y triángulos, definiciones generales. Ángulos entre paralelas. Suma de ángulos interiores de un triángulo: demostración. Teorema de Pitágoras. Clasificación de cuadriláteros. Posiciones relativas de rectas y circunferencias. Tablas con los perímetros y superficies de los polígonos más comunes, triángulos y cuadriláteros, círculo. Tabla con las superficies y volúmenes de los poliedros más comunes y sólidos de revolución. Ejercitación con perímetros, áreas y volúmenes. Ángulo exterior de un triángulo. Segmentos y puntos notables de un triángulo: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices. Ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro. Razones y proporciones: propiedades de las proporciones. Reparto proporcional directo e inverso. Teorema de Tales. Congruencia y semejanza. Inscripción y circunscripción. Polígonos: tipos, diagonales, ángulos exteriores e interiores. Círculo: elementos, cuerdas, arco y flecha. Cómo se llega al número p. Figuras circulares: sector, corona, trapecio y segmento circular, áreas y perímetros. Cuerpos: poliedros: regulares y otros (prisma, ortoedro, pirámide, etc.). Relación de Euler. Sólidos de revolución: cilindro, cono y esfera. Simulador: Cuerpos poliedros y redondos.


Tema 3) Ecuaciones e inecuaciones:

3 a) Ecuaciones: Reglas de traspaso de términos para despejar incógnitas en ecuaciones. Ejemplos y ejercitación.

3 b) Inecuaciones: Desigualdades. Traspaso de términos para despejar incógnitas en desigualdades. Conjunto solución: como intervalo, graficación en la recta numérica y expresión por comprensión. Intervalos: tipos. Regla excepcional en traspasos en inecuaciones. Inecuaciones con módulo o valor absoluto. Inecuación de menor, de mayor y con resultado trivial. Propiedades del módulo. Inecuaciones con varias barras de módulo. Inecuaciones modulares compuestas. Inecuaciones fraccionarias y no lineales: análisis por los puntos críticos. Ecuaciones con módulo.

 

Tema 4: Funciones I

4 a) Funciones: Definiciones básicas. Producto cartesiano, relación, relación inversa. Funciones: condiciones de existencia y unicidad: ejemplo con diagramas de flechas y con gráficos cartesianos. Clasificación de funciones: inyectiva, suryectiva y biyectiva, con diagramas de flechas y con gráficos cartesianos. Funciones definidas por su fórmula analítica, tabla de valores y representación gráfica.

4 b) Función Lineal o Afín: Pendiente y ordenada al origen, significados. Graficar rectas sin tablas de valores: ejemplos. Ángulo de inclinación de una recta y ceros de la función lineal. Rectas paralelas y perpendiculares. Ecuaciones punto-pendiente y punto-punto. Ejercitación. Formas de la ecuación de una recta: explícita, general y segmentaria, pasajes entre ellas. Simulador: Ejercitación interactiva con rectas. Problemas con funciones lineales: ecuaciones de costo, ingresos y beneficios: ejemplos.

4 c) Función Cuadrática: Su representación gráfica: la parábola. Sus elementos: ceros o raíces, vértice, ordenada al origen y eje de simetría. Demostración de la fórmula resolvente de la ecuación de segundo grado. Discriminante: su significado según el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática. Demostración de las fórmulas para hallar las coordenadas del vértice, el eje de simetría y la ordenada al origen. Familia de parábolas y = a.x2, formas canónicas y factorizadas de la función cuadrática. Pasajes entre formas. Simulador: Elementos de la parábola y sus formas. Reconstrucción de la ecuación de segundo grado: sus fórmulas, ecuaciones equivalentes. Problemas de aplicación.

 

Tema 5: Funciones II

5 a) Análisis gráfico de funciones: Dominio (encontrarlo en forma analítica para ciertas funciones), imagen, ceros, conjuntos de positividad, negatividad, extremos relativos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, ordenada al origen, extremos absolutos: máximos y mínimos. Rectas asíntotas y polos. Ceros, polos y lagunas de funciones racionales. Ejercitación.

5 b) Más sobre funciones: Funciones inversas, simetría gráfica. Hallar analíticamente la imagen de una función mediante su inversa. Funciones compuestas. Funciones pares e impares: simetría de sus gráficas, producto y cociente de funciones pares e impares. Transformación de funciones: desplazamiento horizontal, vertical, reflexión con respecto al eje y, y al eje x, expansiones y contracciones verticales y horizontales. Ejemplos. Simulador: Transformación de funciones. Funciones especiales: valor absoluto, signo, parte entera y mantisa.

5 c) Proporcionalidad, regla de tres: Función directamente proporcional, gráfica, proporcionalidad directa. Función inversamente proporcional, gráfica, proporcionalidad inversa. Proporcionalidad compuesta: tres ejemplos buscando el invariante en cada renglón. Regla de tres simple directa y simple inversa. Regla de tres compuesta: los tres ejemplos anteriores con aplicación de esta regla.

5 d) Circunferencia: ecuación de una circunferencia con centro en el origen y con centro en cualquier punto del plano. Forma canónica y general de una circunferencia. pasajes entre formas con fórmulas o medios analíticos (desarrollando binomios y completando cuadrados). Simulador: Circunferencia, sus formas. Otros elementos de geometría analítica: distancia entre dos puntos, punto medio de un segmento, punto interior, exterior y frontera de una circunferencia.

 

Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

6 a) Sistemas de ecuaciones lineales: de dos ecuaciones con dos incógnitas. Métodos de resolución: gráfico, sustitución, igualación, de reducción por sumas y restas, y por determinantes. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas por determinantes. Tipos de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de 2x2: sistema compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. Los tres criterios que pueden seguirse: por los coeficientes del sistema ordenados, por las pendientes y ordenadas al origen, y por los determinantes del sistema. Demostraciones. Sistemas homogéneos. Problemas con sistemas de ecuaciones lineales: claves a tener en cuenta para armar las ecuaciones. Ejemplos.

6 b) Sistemas de ecuaciones no lineales: Intersección recta-parábola, parábola-parábola, recta-hipérbola, recta-circunferencia y circunferencia-circunferencia. Ejemplos y problemas de aplicación.

 

Tema 7: Polinomios

7 a) Definiciones y operaciones con polinomios: Definiciones básicas, elementos, ejemplos. Operaciones: sumas, restas y multiplicación entre polinomios. División de polinomios, regla de Ruffini, relación entre dividendo, divisor, cociente y resto. Teorema del resto. Potencias cuadrática y cúbica de polinomios binómicos.

7 b) Factorización de polinomios: ¿Qué es factorizar un polinomio y para qué hacerlo? Casos de factoreo: factor común, factor común por grupos, trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubo perfecto, diferencia de cuadrados, suma o resta de potencias de igual exponente, polinomio cuadrático con raíces reales y distintas. Descomposición en factores de un polinomio: teorema fundamental del álgebra. Factorización por tanteo, teorema de Gauss. Casos combinados de factoreo.

7 c) Simplificación de expresiones fraccionarias y ecuaciones racionales: Simplificar expresiones racionales, producto y cociente de ellas. Suma algebraica de expresiones fraccionarias: el mínimo común múltiplo MCM y el máximo común divisor MCD de polinomios, comparación con operaciones similares entre números enteros. Usos y aplicaciones del MCM y el MCD. Operaciones combinadas entre expresiones fraccionarias. Ecuaciones fraccionarias, su solución.

 

Tema 8: Trigonometría

8 a) Razones trigonométricas, triángulos e identidades: Sistemas de medición de ángulos: el grado sexagesimal, el radián y el grado centesimal. Equivalencias entre ellas. Razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno, tangente y sus recíprocas: secante, cosecante y cotangente. Definiciones. Identidad pitagórica: distintas formas. Probar identidades. Resolución de triángulos rectángulos. Problemas con triángulos rectángulos. Resolución de triángulos oblicuángulos: teoremas del seno y coseno, demostración. Los cuatro criterios para resolver triángulos oblicuángulos. Problemas con triángulos oblicuángulos. Circunferencia trigonométrica: ángulo centrado y orientado. Redefinición del seno y el coseno en la circunferencia trigonométrica. Signos en los distintos cuadrantes de todas las funciones trigonométricas. Dada una razón trigonométrica de un ángulo y el cuadrante a que pertenece hallar las restantes razones. Razones trigonométricas de los ángulos típicos: demostraciones. Relación entre funciones trigonométricas de ángulos: complementarios, suplementarios, que difieren en p y opuestos. Fórmulas de reducción al primer cuadrante. De ángulos que difieren en p/2, que suman 3/2 p y que difieren en 3/2 p. Resumen de estas últimas fórmulas de reducción. Simulador: Relación entre funciones trigonométricas de ángulos relacionados. Ecuaciones lineales con coeficientes trigonométricos. Identidades con ángulos relacionados entre sí.

8 b) Ecuaciones y funciones trigonométricas: La tangente, cotangente, secante y cosecante en la circunferencia trigonométrica. Seno y coseno de la suma y de la resta de dos ángulos: demostraciones. Tangente de la suma y de la resta de dos ángulos, fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad: demostraciones. Ecuaciones trigonométricas elementales con seno, con coseno y con tangente. Simulador: Ecuaciones trigonométricas elementales. Ecuaciones trigonométricas más complejas: con cambio de variables para generar una ecuación cuadrática, operando antes del cambio de variables (aplicando identidad pitagórica), manipulando una ecuación racional para generar la cuadrática, ecuaciones que se resuelven por factoreo, y aplicando relaciones entre ángulos. Análisis gráfico de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Funciones trigonométricas inversas: arco seno, arco coseno y arco tangente: su análisis gráfico. La función seno (o coseno) generalizada: amplitud, frecuencia, periodo y pulsación. Fase, fase inicial, desfase y valor medio. Más formulas trigonométricas: transformación de productos en sumas, y de sumas en productos.

 

Tema 9: Números complejos

¿Qué es un número imaginario y cómo surge? ¿Qué es un número complejo y cómo surge? Formas de expresión de un número complejo: binómica, polar, trigonométrica y exponencial: pasajes entre formas, demostraciones. Fórmula de Euler para la forma exponencial de un complejo. Ejercitación de pasajes entre formas. Operaciones de números complejos en forma binómica: suma, resta y multiplicación. Complejos conjugados: su representación gráfica en el plano complejo. Propiedades de los complejos conjugados. División de números complejos. Potencias de la unidad imaginaria i. Potencia cuadrática y cúbica de un complejo. Operaciones de números complejos en forma polar-trigonométrica: productos, cocientes y potencias. Fórmula de de Moivre. Operaciones de números complejos en forma polar-exponencial: productos, cocientes y potencias. Ejercicios combinados con complejos en forma exponencial, ecuaciones con variable compleja, etc.

 

Tema 10: Funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas

10 a) Funciones y ecuaciones exponenciales: La función exponencial básica y = ax. Dominio y restricciones de la base a. Estudio de esta familia de funciones, su análisis gráfico. Transformaciones, reflexiones, expansiones y contracciones. Las cuatro gráficas básicas. La función exponencial generalizada: desplazamientos. Simulador: Funciones exponenciales. Problemas de aplicación con la función y = k . ax: crecimiento de bacterias, potencia de una antena, etc. Otro caso más complejo. Ejemplo con tasa de interés: capital reinvertido continuamente. Cómo se llega al número e. Otro problema importante: hallar k y a dados dos puntos de la función. Ejercitación de modelado de funciones exponenciales. Ecuaciones exponenciales: que se resuelven por comparación, con más de dos términos sacando factor común, por cambio de variables pasando a ecuación cuadrática y operando antes de llegar a la ecuación cuadrática.

10 b) Funciones y ecuaciones logarítmicas: Logaritmo, definición y cálculo de logaritmos mentalmente usando la definición y los conceptos de potencias y raíces sabidos. El logaritmo decimal y natural. Propiedades de los logaritmos: triviales e importantes: logaritmo del producto, del cociente y de las potencias. Comprobaciones numéricas y demostraciones teóricas de las propiedades. Logaritmo de una raíz. Descomponer y componer logaritmos. La función logarítmica. Simetría gráfica con la exponencial por ser su inversa. La familia de funciones y = loga x. Dominio y restricciones al valor de la base a. Su análisis gráfico: transformaciones, reflexiones, expansiones y contracciones. Las cuatro gráficas básicas. La función logarítmica generalizada: desplazamientos y variación del dominio. Simulador: Funciones logarítmicas. Aplicaciones de la función logarítmica: los decibeles de intensidad sonora, la escala Richter de los terremotos, la escala del pH para medir la acidez de soluciones. Ejercitación de modelado de funciones logarítmicas. Ecuaciones exponenciales usando logaritmos. Problemas de aplicación. Ecuaciones logarítmicas: por definición, con varios logaritmos componiendo (y a veces, descomponiendo) con propiedades, con logaritmos en todos los términos resolviendo por comparación y con cambio de variable a cuadrática (y operando antes). Cambio de base en logarítmos: fórmula, usos y demostración. Ecuación logarítmica con cambio de base. Forma alternativa para el cambio de base. Cambio de base en exponenciales: generalizando las funciones exponenciales a base e. Forma generalizada de la función exponencial de base e. Generalizando el logaritmo a base e: logaritmo natural. Forma generalizada de la función logaritmo natural.

 

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